Игорю Федоровичу Шарыгину,

известному любителю геометрии

посвящаю


Углублённая геометрия

Интерактивный комплект


Интерактивный тематический комплект создан для тех, кто заинтересовался чистой и светлой наукой геометрией, кому не хватает школьного материала, кто готовится к олимпиадам и вступительным экзаменам в МГУ, МФТИ, СПбГУ или вузы близкого уровня.

Комплект представляет подробный разбор решений более чем 500 задач и полезные геометрические факты. В основу комплекта положены идеи учебника Ж.Адамара (Jacques Salomon Hadamard), он полезен всем, кто использует линии учебников Я. П. Понарина, И. Ф. Шарыгина и Д.А Терешина, решает задачи из задачников В. В. Прасолова. Решения даны в текстовой форме и в виде интерактивных GInMA файлов с пошаговым решением задачи, интерактивной трехмерной графикой. Особенность комплекта состоит в том, что щелкнув по рисунку из текста, вы попадаете в живой чертеж. Изучайте геометрию наглядно, образно, в движении, понимая суть происходящего, а не просто заучивая формулы и теоремы.

Учитель может использовать комплект на уроках в школе, в кабинете с интерактивной доской либо с мультимедиа проектором, в компьютерном классе. Ученик с его помощью может самостоятельно изучить тему, подготовиться к олимпиадам, экзаменам в Вуз.

Чтобы рисунки из комплекта ожили, установите на Вашем компьютере программу GInMA c сайта http://deoma-cmd.ru/Products/Geometry/GInMA.aspx

Бесплатная базовая версия комплекта позволяет ознакомиться с возможностями пособия. Во всех файлах доступны первые шаги решений с условием и исходным интерактивным чертежом, в отдельных файлах доступны все шаги решения вплоть до ответа.


Чтобы научиться управлять рисунком, пользуйтесь Руководством для пользователя комплекта

Смотрите видео Как преобразовать рисунки из текста в интерактивные рисунки

Видео некоторых решений смотрите на Youtube, канал пользователя Vladimir Shelomovskii

Посмотрите пример методики применения комплекта Построение сечения в GInMA


Углублённая Геометрия

Содержание

0. Основы геометрии и теории множеств

1. Конфигурации, образованные прямыми и их частями

1.1. Многогранники

2. Конфигурации с окружностью или кривой

2.1. Конфигурации со сферами и цилиндрами

3. Движения плоскости

3.1. Движения пространства

4. Преобразования плоскости

4.1. Преобразования пространства

4.2. Преобразования прямой, поляра


Решение сложных задач с тонкими моментами решения подробно записано в текстовом файле и вкратце — в интерактивном. Решение простых задач приведено в интерактивном файле, в тексте размещено только условие задачи и одна из картинок интерактивного файла. Если в задаче нет рисунка, предполагаем, что он настолько прост, что читатель его выполнит сам, пользуясь геометрическим конструктором GInMA.

0.1. Элементарно о множествах и терминологии

Геометрическая фигура − это некоторое множество точек.

Множество точек можно задать его характеристическим (определяющим) свойством или же графически. Множество, заданное характеристическим свойством его точек называют геометрическим местом точек (ГМТ), обладающих данным свойством.

Соответствие − интуитивно ясное первичное неопределяемое понятие.

Суть − это слово происходит от древнерусского слова сѹть, аналогичного слову «есмь». В математических текстах оно заменяет привычное слово «является» и его часто применяют русскоязычные математики. Следующие высказывания эквивалентны:

«прямая A'B' суть образ прямой АВ»,

«прямая A'B' это образ прямой АВ»,

«прямая A'B' является образом прямой АВ».

Ниже часто использован термин «суть», так как я интуитивно считаю, что он наиболее точен. Например, термин является привычен, но говорит о прямой так, как если бы она являла себя, что на мой взгляд неточно. На этот факт обратил моё внимание профессор А. Г. Мордкович, который тонко чувствует особенности русского языка.


Отображением f множества X в множество Y называют соответствие, при котором каждому элементу x множества X соответствует единственный элемент y множества Y. Употребляется запись: f : XY, f : XX', a также y = f(x), x' = f(x). Элемент y (или x') называют образом элемента x, а элемент x − прообразом элемента y (или x') при отображении f множества X в множество Y (или Х').

Если f(X) = Y, говорят, что множество X отображается на множество Y. Подразумеваем, что каждый элемент множества Y является образом хотя бы одного элемента из множества X.

Отображение f множества X на множество Y называют обратимым (взаимно однозначным), если образы любых двух различных элементов различны. В этом случае существует обратное отображение f −1 множества Y на множество X. Отображения f и f −1 взаимно обратны, то есть (f −1) −1 = f .

Если f(X) принадлежит Х, говорят, что множество X отображается в себя.

Если f(X) = Х говорят, что множество X отображается на себя.

Обратимое отображение множества на себя называют преобразованием этого множества.

Два преобразования f и g одного и того же множества X называют равными (совпадающими), если для любого x множества X его образы при этих преобразованиях совпадают: f(x) = g(x).

Признаки преобразования:

1) каждый элемент множества имеет единственный образ в этом множестве,

2) каждый элемент этого множества имеет единственный прообраз в нем.

Признаки преобразования:

1) каждый элемент множества имеет единственный образ в этом множестве,

2) образы любых двух различных элементов различны,

3) каждый элемент данного множества имеет некоторый прообраз в этом множестве.

Пусть f и g — два преобразования множества X и y = f(x), z = g(y) для произвольного x множества X. Определим отображение h законом h(x) = g(f(x)). Согласно признаку преобразования, отображение h - это преобразование множества X.

Преобразование h называют композицией (произведением) преобразования f и преобразования g, если оно состоит в последовательном выполнении преобразования f затем преобразования g: h = g f.

Преобразование, выполняемое первым, записывают справа: (g f)(х) = g (f(х)).

Композиция преобразований ассоциативна, то есть для любых преобразований f, g, h данного множества имеет место соотношение: h (g f) = (h g) f.

Композиция преобразований не обязательно коммутативна. Результаты преобразований g f и f g могут быть разными.

Преобразование E множества X называется тождественным преобразованием, если для любого x множества X имеет место E(x) = x.

Для любого преобразования f :

E f = f E = f, f 1 f = f f −1 = E.

При любом преобразовании f пересечение множеств отображается на пересечение образов этих множеств: f(A B) = f(A) f(B).

При любом преобразовании f объединение множеств отображается на объединение образов этих множеств: f(A B) = f(A) f(B).

Преобразование f множества называют инволютивным, или инволюцией, если оно совпадает со своим обратным, но отлично от тождественного, т. е. f = f 1, f E.

Инволютивное преобразование меняет местами элемент x множества и его образ x'. Если преобразование f инволютивно, то f f = E.






0.2. Основы планиметрии (примитивно)

Аксиоматика Гильберта (существуют и другие)

Не определяемые геометрические понятия:

точка, прямая линия, плоскость.

Отношения:


Аксиомы принадлежности:

3. Каждой прямой l принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.


Аксиомы порядка:

4. Пусть А, В, С точки, не лежащие на одной прямой, и l – прямая в плоскости АВС этих трех точек, не проходящая ни через одну из точек А, В, С если при этом прямая проходит через одну из точек отрезка АВ, то она должна пройти через одну из точек отрезка АС или через одну из точек отрезка ВС.


Аксиомы конгруэнтности:


Опыт перехода от аксиом к школьной геометрии показывает, что этот процесс лучше отложить до появления на жизненном пути спецкурса Основания геометрии. А если такового не будет, то и не заморачиваться.

Термин «конгруэнтность» в отечественной школе принято заменять термином «равно».

И.Ф. Шарыгин говорил, что «В основаниях геометрии очень много тёмных мест». Хотя мы не знаем, как определить прямую, но интуитивно мы понимаем что это.

Говорят, что в ОКЕАНЕ плавает БОЛЬШАЯ черепаха. На ней стоят три слона на которых покоится Земля. Мы не понимаем, что есть ОКЕАН и даже что есть БОЛЬШАЯ черепаха. Но что такое слоны и как на них можно нечто положить уже понимаем.

На основании вышеизложенного считаем, что очевидно то, что принято считать очевидным.

© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.

© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/